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    一元二次方程知識點整理

    發布時間:2020-12-16 19:35:04 作者:冬青好 

      一、定義和特點
     
      1、一元二次方程:含有一個未知數,并且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。
     
      2、一元二次方程的一般形式:ax的平方+bx+c=0(a≠0),它的特征是:等式左邊加一個關于未知數x的二次多項式,等式右邊是零,其中ax的平方+叫做二次項,a叫做二次項系數;bx叫做一次項,b叫做一次項系數;c叫做常數項。
     
      二、方程起源
     
      古巴比倫留下的陶片顯示,在大約公元前2000年(2000 BC)古巴比倫的數學家就能解一元二次方程了。在大約西元前480年,中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根,但是并沒有提出通用的求解方法。西元前300年左右,歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。
     
      7世紀印度的婆羅摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代數方程,它同時容許有正負數的根。
     
      11世紀阿拉伯的花拉子密獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞(亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱)在他的著作Liber embadorum中,首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。
     
      據說施里德哈勒是最早給出二次方程的普適解法的數學家之一。但這一點在他的時代存在著爭議。這個求解規則是(引自婆什迦羅第二):
     
      在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的系數的四倍;
     
      在方程的兩邊同時加上一次項未知數的系數的平方;
     
      在方程的兩邊同時開二次方。
     
      三、性質
     
      方程的兩根與方程中各數有如下關系:x1+x2= -b/a,x1·x2=c/a(也稱韋達定理)
     
      方程兩根為x1,x2時,方程為:x^2+(x1+x2)X+x1x2=0(根據韋達定理逆推而得)
     
      b^2-4ac>0有2個不相等的實數根,b^2-4ac=0有兩個相等的實數根,b^2-4ac<0無實數根。
     
      四、一般解法
     
      一元二次方程的一般解法有以下幾種:
     
      配方法(可解部分一元二次方程)
     
      公式法(在初中階段可解全部一元二次方程,前提:△≥0)
     
      因式分解法(可解部分一元二次方程)
     
      直接開平方法(可解全部一元二次方程)
     
      五、小結及例題
     
      一般解一元二次方程,最常用的方法還是因式分解法,在應用因式分解法時,一般要先將方程寫成一般形式,同時應使二次項系數化為正數。
     
      直接開平方法是最基本的方法。
     
      公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程(有人稱之為萬能法),在使用公式法時,一定要把原方程化成一般形式,以便確定系數,而且在用公式前應先計算判別式的值,以便判斷方程是否有解。
     
      配方法是推導公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。但是,配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用,是初中要求掌握的三種重要的數學方法之一,一定要掌握好。(三種重要的數學方法:換元法,配方法,待定系數法)。
     
      例:用適當的方法解下列方程。(選學)
     
      (1)4(x+2)^2-9(x-3)^2=0;(2)x^2+2x-3=0;(3)4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0
     
      分析:
     
      (1)首先應觀察題目有無特點,不要盲目地先做乘法運算。觀察后發現,方程左邊可用平方差
     
      公式分解因式,化成兩個一次因式的乘積。
     
      (2)可用十字相乘法將方程左邊因式分解。
     
      (3)把方程變形為 4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后利用十字相乘法因式分解。
     
      (1)解:4(x+2)^2-9(x-3)^2=0
     
      [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
     
      (5x-5)(-x+13)=0
     
      5x-5=0或-x+13=0
     
      ∴x1=1,x2=13
     
      (2)解: x^2+2x-3=0
     
      [x-(-3)](x-1)=0
     
      x-(-3)=0或x-1=0
     
      ∴x1=-3,x2=1
     
      (3)解:4x^2-4mx-10x+m^2+5m+6=0
     
      4x^2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
     
      [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
     
      2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
     
      ∴x1=(m+2)/2,x2=(m+3)/2
    更新:20210415 180810     


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