因式分解法解一元二次方程步驟

因式分解法解一元二次方程步驟

我們知道，一元二次方程都可以用公式法來解。對于某些系數較為特殊的方程，例如χ² = 4 ，用直接開方法就比較簡便。現在我們再來學習一種簡便的方法------因式分解法。
例如，對于方程
χ² = 4
除了直接用直接開方法來解以外，也可用下面的方法來解。
移項，得
χ² - 4 = 0 。
這個方程的右邊是0，左邊可以分解成兩個一次因式的積，就是
χ² - 4 = (χ - 2)(χ + 2) 。
因此，這個方程可變形為
(χ - 2)(χ + 2) = 0 。
我們知道，如果兩個因式的積等于零，那么這兩個因式至少要有一個等于零；反過來，如果兩個因式有一個等于零，它們的積也就等于零。例如：要使(χ - 2)(χ + 2) 等于零，必須并且只需
χ - 2 等于零或χ + 2 等于零。因此，解方程

(χ - 2)(χ + 2) = 0

就相當于解方程χ - 2 = 0 或χ + 2 = 0 了。進一步解這兩個一次方 程，得到χ = 2 或χ = -2。
所以，原方程χ² = 4 的兩個根為

χ ₁= 2 、 χ₂ = -2

這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。在一元二次方程的一邊是零而另一邊易于分解成兩個一次因式時，就可以用因式分解法來解。

例題1 ：

解方程：(1) χ² -3χ -10 = 0 ； (2) (χ + 3)(χ -1) = 5。
解 (1) 把方程的左邊分解因式，得
(χ - 5)(χ + 2) = 0
χ - 5 = 0 或χ + 2 = 0
∴ χ₁ = 5、 χ ₂ = -2 。
(2) 原方程可變形為
χ2 + 2χ - 3 = 5，

即
χ² + 2χ -8 = 0 。
把方程的左邊分解因式，得
(χ - 2)(χ + 4) = 0
χ - 2 = 0 或χ + 4 = 0
∴ χ ₁= 2 、χ ₂= -4 。

例題2 解方程： (1) 3χ(χ + 2) = 5(χ + 2) ；

(2) (3χ +1)² - 4 = 0。

(1) 原方程就是
3χ(χ + 2) - 5(χ + 2) = 0 。
把方程的左邊分解因式，得
(χ + 2)(3χ - 5) = 0
χ + 2 = 0 或3χ -5 = 0

(2) 把方程的左邊分解因式，得
[(3χ +1) + 2][(3χ +1) - 2] = 0 ，
即
(3χ + 3)(3χ -1) = 0。
χ +1 = 0或3χ -1 = 0