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    配方法解一元二次方程

    發布時間:2020-11-24 13:56:07 作者:冬青好 

      配方是……

    拿一個像這樣的二次方程: 右箭頭w 把它轉化為:

    ax2 + bx + c = 0

    a(x+d)2 + e = 0

    如果你沒有時間看下去,我可以告訴你:   d = b2a
    并且:   e = c − b24a


      但若你有時間,讓我教你怎樣自己"配方"。

      配方法

      假設我們有一個簡單的式子,像x2 + bxx在式子里出現兩次,這相當復雜。怎辦?借用幾何的理念,我們可以改變它,像這樣:

    20201124134442.png

      x2 + bx可以幾乎重排成一個正方形,我們可以搭配上(b/2)2來完成這個正方形,

      在代數這是:

    x2 + bx   + (b/2)2 = (x+b/2)2
        "配方"    

      只要配上(b/2)2,我們就可以完成正方形,現在(x+b/2)2x只出現一次,令處理比較容易。

      保持平衡

      注意,我們不能只 (b/2)2,而不把它去!否則方程便會完全改變,我們來看看正確做法的例子:

    開始: x^2 + 6x + 7  
      (在這里"b" 是 6)  
         

    配方:

    x^2 + 6x + (6/2)^2 + 7 - (6/2)^2

    同時,同一項

     

    簡化,就做好了。

      簡化成 (x+3)^2  

    結果:

    x2 + 6x + 7   =   (x+3)2  2

    現在x只出現一次,我們做好了!

      捷徑,我們來看看我們想要的結果:(x+d)2 + e 展開 (x+d)2 為 x2 + 2dx + d2,所以:

    20201124134902.png

      我們可以"逼"出一個答案出來:我們知道6x會成為2dx,所以d一定是 3,我們也知道7會成為 d2 + e = 9 + e,所以e 一定是 −2,

      得到的結果 (x+3)2 − 2 和上面是一樣的!我們現在來看看一個配方法的應用:解二次方程,

      用配方法來解一般二次方程,我們可以用配方法來解一個二次方程(求它何時等于零),但一個二次方程可以有系數 a 在x2前面:ax2 + bx + c = 0 這很容易,先把方程除以 "a",然后繼續:x2 + (b/a)x + c/a = 0,

      步驟,我們可以用 5 步來解二次方程:

      一、 把所有項除以 a(x2的系數)。
      二、 把常數項 (c/a) 移到方程的右邊。
      三、 左邊配方,右邊也加同項以保持平衡。
      現在方程像 (x + p)2 = q,解這個相當容易:

      四、 取方程兩邊的平方根。
      五、 減去左邊剩下的數來求x。

      例子以下有兩個例子:

      例子 1: 解 x2 + 4x + 1 = 0

      一、 可以略過因為 x2 的系數是 1

      二、 把常數項移到右邊:20201124135149.png

      三、 左邊配方,右邊也加同項以保持平衡。

             (b/2)2 = (4/2)2 = 22 = 4

             x2 + 4x + 4 = -1 + 4

             (x + 2)2 = 3

      四、 取方程兩邊的平方根:x + 2 = ±√3 = ±1.73(保留2位小數)

      五、 每邊減 2:x = ±1.73 – 2 = -3.73 or -0.27

    還有一個有趣并且有用的小知識。

    做完第三步后,方程是:

    (x + 2)2 = 3

    這方程告訴我們 x2 + 4x + 1 的頂點(轉折點)(-2, -3)

      圖

      例子 2:解 5x2 – 4x – 2 = 0

      一、 所有項除以 5

    x2 – 0.8x – 0.4 = 0

      二、 把常數項移到右邊:

    x2 – 0.8x = 0.4

      三、 左邊配方,右邊也加同項以保持平衡:

    (b/2)2 = (0.8/2)2 = 0.42 = 0.16

    x2 – 0.8x + 0.16 = 0.4 + 0.16
    (x – 0.4)2 = 0.56

      四、 取方程兩邊的平方根:

    x – 0.4 = ±√0.56 = ±0.748 (保留3位小數)

      五、 每邊減 (-0.4) (換句話說,加 0.4):

    x = ±0.748 + 0.4 = -0.348 or 1.148

      為什么要"配方"?為什么要配方?為什么不用二次方程求根公式去解二次方程?上面講了一個原因,除了解方程以外,我們還可以知道頂點在哪里。有時這個方程格式 ax2 + bx + c 可能是一個更大的問題的一部分,把它重排成 a(x+d)2 + e 會讓求解更容易,因為 x 只出現一次。例如, "x" 可能是個函數(像cos(z)),重排后可能可以讓我們找到一個更好的解法。配方也是導出二次方程的求根公式的方法,配方法是你的數學工具箱里的一個工具。

    更新:20210415 180801     


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